Рустам Абубекеров родился в Пензе. В 2011 году он получил диплом юриста в Пензенском государственном университете. А в ноябре 2013 года начал работать в региональной прокуратуре.
До этого он занимал должность заместителя прокурора Мокшанского района, а также старшего помощника старшего прокурора первого отдела (зонального) управления служебных проверок и профилактики коррупционных и иных правонарушений Главного управления кадров Генеральной прокуратуры Российской Федерации (с дислокацией в Донецке).
С сентября 2023 года до настоящего времени Рустам Абубекеров исполнял обязанности прокурора Камешкирского района.